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构造重心模型解题
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【06数学建模优秀论文】 构造几何图形解题, 以上作了不少介绍. 在这里我们来探索另一种构造法, 即构造质点系的重心模型解决问题.我们知道:平面上n个质点(x,y) (i=1, 2, …, n ) ,每一个质点的质量为m, ,则质点系的重心G ( ,)坐标为:
若把它改写为:,
则对于一类型如的有关问题,可以转换为质点系{m}的重心问题加以研究,使问题得到简捷解决.
一、求数列前项的和
例1
求1+2+…+n的和
分析 构造高为n -1的正三角形,如图9-7所示放置,并将各边n -1等分,连结各分点得一些小三角形, 设各个三角形的顶点质量都为1.
y
O 1 n x
图9-7
由几何知识可得正三角形的重心横坐标:
=(n-1)+1,
它亦是质点系重心的横坐标.
又横坐标为k (k=1,2, …,n)的质点有k个(即重量为k).
∴
即
说明 这例的横坐标是为自然数序列, 若将自然数序
列改为等差数列, 它们也有类似的解法.
一般地, 质点系{m}的重心坐标及质量总和容易求得时,常常用来解.
二、
求条件最值
例2 已知a,b,c,d,e是满足 : a+b+c+d+e=8
a+b+c+d+e=16
的实数,试确定e的最大值.
分析 设抛物线y=x上横坐标为a,b,c,d,e的四点A,B,C,D,它们的质量相同,由题设得这四点重心G (,)坐标为:
=2--
由抛物线的凸性知,四点的重心位于抛物线上方或边界上,即≥ , 从而４-≥. |
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