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平几问题的升维处理
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【数学建模论文摘要】 降维法是解决立几体几何问题的常用方法，作为它的反面——升维法,却能创设新的数学情境,将问题的本质结构充分暴露,规律尽收眼底．一、
证共线点
在立几中，利用“两个平面的公共点共线”很容易地处理一类共线点问题，一个自然的问题是：“能否利用它解决平几中的共线点?由此得出升维处理法;即设法构造另一平面,使点所在的直线为两个平面的交线,然后说明要证的点是它们的公共点.
例1(Menelaus 定理) 设Ｘ，Ｙ，Ｚ 各是△ＡＢＣ三边BC,CA,AB所在直线上的点，则它们共线的充要条件是：
A＇
B＇C＇
B A
Z Y C
X
图9-1
＝－1
证（充分性）设△ＡＢＣ所在平面为α，分别过Ａ、B、C作与平面α垂直的线段ＡＡ＇、ＢＢ＇、ＣＣ＇，使
（当点X在BC上，则BB＇,CC＇ 在平面α的两侧，不然为同侧，其余类似,如图9-１）
∴ 点Ｘ，Ｙ分别在直线ＢC，ＣＡ上
此时
∴ 点Z在直线AB上
设△ABC所在平面为β，则X、Y、Z∈β
又X、Y、Z∈α，故X、Y、Z三点共线
(必要性) 若X、Y、Z共线于则过作平面β使之不与平面α垂直．分别过A、B、C作垂直于α的直线交β依次于点A＇、B＇、C＇,由三角形的相似性不难得
S
A＇
C＇
A B＇ C
Y
B Z
X 图9-2
由三者相乘即得结论
从该例可见,升维处理共线点问题显得方便、明快,又如在三维空间中俯视笛沙格(Desargues)定理:“若两三角形的对应顶点连线交于一点
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