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圆锥曲线定义的运用

【小学数学学生论文】圆锥曲线的定义反映了圆锥曲线的本质特征,揭示了曲线存在的条件及其所包含的几何性质,这是一个十分重要的内容。利用圆锥曲线定义来解决问题时,要注意其性质,还要注意曲线的基本定义和基本概念。为此,我们针对椭圆、双曲线、抛物线,先来复习一下它们的定义。
1. 椭圆:在平面内与两个定点F1、F2的距离之和为常数(大于)的动点的动点的轨迹叫椭圆。两个定点叫椭圆的焦点,两焦点间的距离叫焦距。
2.双曲线:平面内与两个定点F1、F2的距离之差的绝对值是常数(小于)的动点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫双曲线的焦点,两焦点间的距离叫焦距。
3.椭圆、双曲线、抛物线的统一定义:平面内动点M到一个定点的距离和到一条定直线的距离之比是常数e,当0<e<1时动点M的轨迹叫椭圆;当e=1时M点的轨迹叫抛物线;当e>1时M的轨迹叫双曲线。定点叫曲线的焦点,定直线叫曲线的准线,e叫曲线的离心率。
应用举例如下:
一、  
定义法求轨迹
例1.过一定点且与一条定直线相切的动圆圆心的轨迹是什么曲线?
解 由平面几何知识知道,圆心到定直线的距离与到定点的距离相等(等于半径),满足抛物线定义,所以动圆圆心的轨迹是抛物线。
  例2.已知两圆C1:(x-4)2+y2=169, C2:(x+4)2+y2=9,动圆P与C1内切,与C2外切。求圆心P的轨迹。
  分析:由平面几何知识知道,两圆相切时常连结连心线,可利用切点在连心线上及圆心距与两半径的关系的性质。
  解 由条件,两圆半径分别是13和3,设P(x,y),动圆半径为r,则有
  =13-r
    =3+r
  消去r得+=16,即P点到两定点C1、C2的距离之和是定值16,且因16> ,所以P点的轨迹是椭圆。
易求得其方程为。
例3.(1984年全国高考题)求出经过点M(1,2)且以y轴为准线、离心率为1/2的椭圆左顶点的轨迹方程。

 
 
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