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二值命题逻辑中命题真度相同与逻辑等价的关系
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【哲学教研论文】根据参考文献[1]中引入的二值命题逻辑中公式真度的概念,易知逻辑等价的公式真度一定相同,但真度相同的公式并不一定逻辑等价,例如设p1,p2为不同的原子公式,则p1,p2的真度τ(p1)与τ(p2)均为12,但由p1→p2与p2→p1均不是定理及二值命题逻辑的完备性知p1与p2不是逻辑等价的,关于这两者之间的关系,本文给出了结论.另外,文中的公式真度与命题真度意义相同.
1 关于二值命题逻辑的一些预备知识定义1 设S = {p1,p2,…},作F(S)如下:(i)p1,p2,…∈F(S)(ii)若A,B∈F(S),则 A,A→B∈F(S)(iii)F(S)中的元素都可通过(i)(ii)得到注 定义1中S含有可列个原子公式,以下约定Sn= {p1,p2,…,pn},并将相应的公式集记为F(Sn).定义2 设v∶F(S)→{0,1}为映射,若v是( ,→)型同态,即v( A)= v(A),v(A→B)= v(A)→v(B),这里A,B∈F(S),则称v为F(S)的赋值,v(A)也称为公式A的赋值,F(S)的全体赋值之集记为Ω.注 在{0,1}中规定 0=1, 1=0,a→b =0当且仅当a =1且b =0,由于v是( ,→)型的同态,而F(S)中的公式均可通过原子公式由 ,→连接而成,故v∶F(S)→{0,1}可由v在S上的限制v | S所惟一确定.定义3 设A,B∈F(S),若对于每个v∈Ω均有v(A) = v(B),则称A与B逻辑等价,记为A≈B.定义4 函数f∶{0,1}n→{0,1}叫n元Boole函数(n∈N).定义5 设A(p1,…,pn)是含有n个原子公式的合式公式,即A(p1,…,pn)∈F(Sn),Sn= {
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